《§10.2   解斜三角形》學(xué)案

一、學(xué)習(xí)要求：

1、發(fā)現(xiàn)并記住正弦定理、余弦定理

2、能夠應(yīng)用正弦定理、余弦定理解斜三角形和應(yīng)用問題

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：能夠應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的實(shí)際問題

難點(diǎn)：解斜三角形的應(yīng)用

三、學(xué)時(shí)安排共6學(xué)時(shí)

第一學(xué)時(shí)：正弦定理  

學(xué)習(xí)要求：熟記正弦定理及三角形面積公式，并會(huì)初步運(yùn)用正弦定理解決兩類基本的解三角形問題

第二學(xué)時(shí)：余弦定理 

學(xué)習(xí)要求：能說出余弦定理的三種表示形式，并會(huì)初步運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題

第三學(xué)時(shí)：解斜三角形

學(xué)習(xí)要求：明確區(qū)分應(yīng)用正弦定理和余弦定理解斜三角形的適用范圍，并能夠靈活應(yīng)用正弦定理和余弦定理解一些有關(guān)斜三角形問題

第四學(xué)時(shí)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例（一）

學(xué)習(xí)要求：初步能運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角度量與測量等實(shí)際問題，明確解題步驟

第五學(xué)時(shí)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例（二）

學(xué)習(xí)要求：能熟練運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角度量與測量等實(shí)際問題

第六學(xué)時(shí)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用實(shí)踐

學(xué)習(xí)要求：學(xué)生合作完成實(shí)際測量問題，交流心得，互相學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步

四、學(xué)習(xí)過程：

第一學(xué)時(shí)

（一）課前嘗試

1、學(xué)法指導(dǎo)：

（1）回顧直角三角形的邊角關(guān)系和面積公式

（2）回顧向量的加法運(yùn)算與向量數(shù)量積的定義

（3）認(rèn)真閱讀書本P_150~151，找出正弦定理及任意三角形的面積公式，看書本P₁₅₄例2，想一想正弦定理適合解決什么問題，是怎樣解決的

 2、嘗試練習(xí)：

                                                                                             （1）如上圖：在直角三角形ABC中，sinA=      ，sinB=      ，               sinC=     ；直角三角形ABC的面積為             ；        

（2）如上圖：利用向量加法的三角形法則，得到                ；

（3）如上圖：利用向量的數(shù)量積的定義，        ，          ；

（4）正弦定理為              ，三角形的面積公式為             ．

（二）      課堂探究

1、探究問題

（1）怎樣測量一個(gè)漁塘兩端的距離？

       （2）填寫下表：

2、知識(shí)鏈接

正弦定理及任意三角形的面積公式

3、拓展練習(xí)

（1） ，并求面積S（用計(jì)算器）．

（2）在 ．

（3） ．

4、當(dāng)堂訓(xùn)練

（1）已知 ，并求面積S．

（2）已知 ,并求面積S．

（3）已知 ．

5、歸納總結(jié)：

（三）           課后拓展

（1）                   課本P₁₅₅課內(nèi)練習(xí)1.   3、5、6 ；

（2）      學(xué)習(xí)指導(dǎo)用書P₈₃B組1．（A層次）

（四）      格言警句

每一個(gè)成功者都有一個(gè)開始，勇于開始，才能找到成功的路．

第二學(xué)時(shí)

（一）課前嘗試

1．學(xué)法指導(dǎo)：

（1）回顧正弦定理及適用的范圍

（2）回顧向量減法法則

    （3）認(rèn)真閱讀書本P₁₅₁，找出余弦定理，看書本P₁₅₄例1、例3，想一     想余弦定理適合解決什么問題，是怎樣解決的

      2．嘗試練習(xí)：

（1）已知在 ；

（2）在 ，利用向量減法法則，得到                ； 

        （3）在直角三角形ABC中，邊a，b，c之間的關(guān)系是       （勾股定理）；

（4）余弦定理               ，               ，               ．

（二）課堂探究

1、探究問題 

在△ABC中已知 a = 2，b = ，c = + 1 ，求C．

2、知識(shí)鏈接

3、拓展練習(xí)

（1）在ΔABC中，已知AB＝8，BC＝7，AC＝9，求A、B和C．

（2）在ΔABC中，已知AC＝11，A＝ ，AB=11，解這個(gè)三角形．

（3）在△ABC中已知 a = 2，b = ，c = + 1 ，試判斷△ABC的形狀（銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形）．

4、當(dāng)堂訓(xùn)練

（1） 在△ABC中已知C = ，a = 10 ，b = 4，求c、A、B ．

（2） 在△ABC中已知 a = 5 ，b = 12，c = 13，求A、B、C，并求面積S．

（3）在△ABC中， ，試判斷△ABC的形狀（銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形）．

5、歸納總結(jié)：

（三）課后拓展

（1）課本P₁₅₅課內(nèi)練習(xí)1.  1、2；

（2）學(xué)習(xí)指導(dǎo)用書P₈₃A組5．

（四）格言警句

 “和諧之美不僅僅是賞心悅目的，它的引人之處還在于其對(duì)人有著強(qiáng)烈的感召力。” （馬克思）

第三學(xué)時(shí)

（一）課前嘗試

1、學(xué)法指導(dǎo)：

（1）回顧正弦定理、余弦定理及適用的范圍

          （2）認(rèn)真閱讀課本P_151~153，發(fā)現(xiàn)正弦定理、余弦定理的區(qū)別，看書本P_158~159，例1、例2，嘗試搞清為什么用正弦定理解決問題時(shí)解不唯一，正弦定理的比值是什么

2．嘗試練習(xí)：

       （1）在⊿ 中，已知a=35，b=24，C= ，則c=            ；

       （2）在⊿ 中，已知a=3，b=5，c=7，則C=            ；

       （3）在⊿ 中，已知c=7，A= ，B= ，則a=            ；

       （4）在⊿ 中，已知a= ，b= ，B=45º，則A=            ．

（二）課堂探究

1、問題探究

已知在⊿ 中， ，求最大角．

2、知識(shí)鏈接

（1）解斜三角形的問題歸納為下表：

（2）解直角三角形的問題歸納為下表：

3、拓展練習(xí)

如果⊿ 的三邊滿足條件 ，求A．

4、當(dāng)堂訓(xùn)練

         （1）求證：已知⊿ 中，  ．

         （2）已知⊿ 中， ，則此三角形是            三角形（填銳角、直角、鈍角或任意）．

       5、歸納總結(jié)：

（三）課后拓展

（1）⊿ 中，求證： ．

（2）已知在⊿ 中， ，求⊿ 的三個(gè)內(nèi)角．

（四）格言警句

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要做習(xí)題，邊做邊思考，先知其然而后知其所以然，實(shí)事求是，循序漸進(jìn)，不怕艱難，持之以恒．

（蘇步青）

第四學(xué)時(shí)

（一）課前嘗試

1．學(xué)法指導(dǎo)：

（1）回顧正弦定理和余弦定理

（2）回顧正弦定理和余弦定理在解斜三角形中應(yīng)用的類型

    （3）閱讀書本P_155~156，想一想例子告訴你運(yùn)用正弦定理、余弦定理能解決哪些簡單的實(shí)際問題，是怎樣解決的

    2．嘗試練習(xí)：

（1）正弦定理                             ；

（2）余弦定理                 ，                 ，             ；

（3）已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC=16，BD=20，且它們所夾的銳角為60°，則此平行四邊形的邊AB長為          ．

（二）課堂探究

1、探究問題

課本P₁₅₆  例4   

      2、知識(shí)鏈接

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟是：

            (1)理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖（一個(gè)或幾個(gè)三角形）

(2)構(gòu)建三角形，把實(shí)際問題中的長度、角度看做三角形相應(yīng)的邊和角，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；

(3)應(yīng)用正弦定理、余弦定理等數(shù)學(xué)知識(shí)解三角形；

(4)對(duì)解數(shù)學(xué)問題得出結(jié)論做出實(shí)際問題的答案．

3、拓展練習(xí)

課本P₁₅₆   例5

4、當(dāng)堂訓(xùn)練

（1）課本P₁₅₈課內(nèi)練習(xí)2.   1

（2）校園旁有一山坡長100米，坡上堆滿了附近居民所倒的垃圾，臭氣沖天，嚴(yán)重影響學(xué)生的學(xué)習(xí)環(huán)境。今政府決定對(duì)此整治，種上花草加以綠化，同時(shí)把它的傾斜角由45º改為30º，則坡底被拉長多少米？

     5、歸納總結(jié)：

（三）課后拓展

         學(xué)校圍墻邊有一三角形地ABC，靠近圍墻邊AB長為20米，由C點(diǎn)看AB的張角為40º。在AC上一點(diǎn)D處看AB的張角為60º且AD=2DC，今計(jì)劃綠化此地，在此塊地上種植草坪，已知每平方米草坪價(jià)格為15元，求綠化此地需多少錢？

（四）   格言警句

知識(shí)就是力量，數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙······輕視數(shù)學(xué)必將造成對(duì)一切知識(shí)的損害，因?yàn)檩p視數(shù)學(xué)的人不可能掌握其它學(xué)科和理解萬物．

（弗·培根）

第五課時(shí)

（一）課前嘗試

1、學(xué)法指導(dǎo)：

（1）回顧解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟

（2）閱讀書本P₁₅₇，想一想例6、例7告訴你運(yùn)用正弦定理、余弦定理能解決哪些簡單的實(shí)際問題，是怎樣解決的

        2、嘗試練習(xí)：

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟是：

         (1)理解題意，                                 

(2)構(gòu)建三角形，                                       ，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為            ；

(3)應(yīng)用                        等數(shù)學(xué)知識(shí)解三角形；

(4)對(duì)解數(shù)學(xué)問題得出結(jié)論做出實(shí)際問題的答案．

（二）課堂探究

1、探究問題

課本P₁₅₇例6   

      2、知識(shí)鏈接

          （1）解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟

（2）應(yīng)用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度，仰角、視角、俯角、方位角等．

3、拓展練習(xí)

             課本P₁₅₆例7

4、當(dāng)堂訓(xùn)練：

（1）課本P₁₅₈  課內(nèi)練習(xí)2 .   2

           （2）課本P₁₅₈課內(nèi)練習(xí)2.   3

5、歸納總結(jié)：

（三）      課后拓展

（1）課本P₁₅₈課內(nèi)練習(xí)2.   4

（2）探索題：某海洋環(huán)保組織在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該船在方位角為45°、距離A為10海里的C處，并測得該船正沿方位角為105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21海里／ｈ的速度前去營救，試問艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近該船所用的時(shí)間．

提示：解好本題需明確“方位角”這一概念，方位角是指由正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，其范圍是（0°，360°）.

（四）格言警句

在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中, 提出問題的藝術(shù)比解答問題的藝術(shù)更為重要．

（康托爾）

第六課時(shí)   

（一）課前嘗試

1．學(xué)法指導(dǎo)

（1）回顧解斜三角形的實(shí)際應(yīng)用；

（2）聯(lián)系實(shí)際生活，想一想日常生活環(huán)境中有哪些不可測的長度或高度能自己用三角測量來完成．

2．嘗試練習(xí)

                        （1）如圖， 、 間距離不可測，我們另選一點(diǎn)  則

（精確到 ）．

      （2）如圖，為測旗桿高度 ，現(xiàn)取一點(diǎn) ，再在 線上另選一點(diǎn) ，在 、  處分別測出點(diǎn) 的仰角 ，同時(shí)量出 ，則 （精確到 ）．

（二）課堂探究

1、問題探究

課桌的對(duì)角點(diǎn)間距離

        2、知識(shí)鏈接

解斜三角形的實(shí)際應(yīng)用

    　  3、拓展練習(xí)

講臺(tái)的對(duì)角點(diǎn)間的距離．

     　 4、當(dāng)堂訓(xùn)練

實(shí)踐操作：四人一組測量課桌的對(duì)角點(diǎn)間的距離．

實(shí)際測量計(jì)算過程：

    　   5、評(píng)價(jià)總結(jié)：

（三）課后拓展

   　   自己尋找生活中實(shí)際測量的例子，四人一組，至少完成一項(xiàng)測量計(jì)算工作．

（四）格言警句

我國科學(xué)家王菊珍對(duì)待實(shí)驗(yàn)失敗有句格言，叫做“干下去還有50％成功的希望，不干便是100％的失�。�